Bahas Soal Matematika   »   Matriks   ›  

Nilai semua \(x\) sehingga matriks \( \begin{pmatrix} \sqrt{x^2-1} & 1 \\ x & 2 \end{pmatrix} \) mempunyai invers adalah…

1. \( x \neq - \frac{4}{3} \) dan \( x \neq \frac{4}{3} \)
2. \( x \neq -\sqrt{ \frac{4}{3} } \) dan \( x \neq \sqrt{ \frac{4}{3} } \)
3. \( \sqrt{ \frac{4}{3} } < x \leq -1 \) atau \( 1 \leq x < \sqrt{ \frac{4}{3} } \)
4. \( -\sqrt{ \frac{4}{3} } < x \leq -1 \) atau \( 1 < x < \sqrt{ \frac{4}{3} } \)
5. \( x < -\sqrt{ \frac{4}{3} } \) atau \( -\sqrt{ \frac{4}{3} } < x \leq -1 \) atau \( 1 \leq x < \sqrt{ \frac{4}{3} } \) atau \( x > \sqrt{ \frac{4}{3} } \)

(UM UGM 2014)

Pembahasan:

Ingat bahwa syarat sebuah matriks mempunyai invers adalah determinannya tidak sama dengan nol. Berdasarkan syarat invers matriks ini, kita dapatkan hasil berikut:

Selanjutnya, syarat agar sebuah fungsi bentuk akar \( \sqrt{ f(x) } \) mempunyai nilai real adalah \( f(x) \geq 0 \). Dalam hal ini, agar \( \sqrt{x^2-1} \) mempunyai nilai real maka \( x^2-a \geq 0 \). Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat \( x^2-1 \geq 0 \) adalah \( x \leq -1 \) atau \( x \geq 1 \).

Nilai semua \(x\) yang memenuhi matriks yang diberikan dalam soal adalah irisan dari nilai \(x\) yang diperoleh di atas. Jika kita gambarkan irisan dari \( x \neq \pm \sqrt{ \frac{4}{3} } \) dan \( x \leq -1 \) atau \( x \geq 1 \), maka akan tampak seperti berikut ini:

Berdasarkan gambar di atas, maka nilai dari semua nilai \(x\) yang memenuhi matriks \( \begin{pmatrix} \sqrt{x^2-1} & 1 \\ x & 2 \end{pmatrix} \) adalah \( x < -\sqrt{ \frac{4}{3} } \) atau \( -\sqrt{ \frac{4}{3} } < x \leq -1 \) atau \( 1 \leq x < \sqrt{ \frac{4}{3} } \) atau \( x > \sqrt{ \frac{4}{3} } \).

Jawaban E.